في منتصف القرن الثامن عشر قدم العالم السويسري ليونارد أويلر ((1787-1707 الحل للمعادلة حيث وسع حقل الاعداد الحقيقية إلى حقل جديد يكون فيه للمعادلة السابقة حل وهو ماسمي فيما بعد بحقل الأعداد المركبة, حيث صاغ أويلر العدد المركب على الصورة ولكن صيغة أويلر تطرح بعض الاسئلة المنطقية عن إشارة في صورة العدد المركب قبل تعريف عملية جمع الأعداد المركبة, إلى أن جاء العالم الايرلندي- بعد حوالى قرن من الزمان- ويليام رون هاملتون ( (1865-1805عرف جبر الاعداد المركبة على أنه مع عملية الجمع المعتادة والضرب المركب وكان لهذا الجبر نتائج هامة ضمنها تعريف الدوال الاسية والمثلثية بحيث تكون تعميم لنظائرها في التحليل الحقيقي.في هذا البحث نحاول تعميم الدوال الاسية والمثلثية في متغيرين في أنظمة جبرية غير الأعداد المركبة وندرس كيف أن هذا التعريف يعتمد على تعريف عمليات الضرب (الدوال ثنائية الخطية) على كما سنثبت أن هذه الدوال لها الخواص الأسية والمثلثية المشهورة مثل : ثم نتعرض لكيفية تعريف الاشتقاق , ,, بحيث نجد مشتقاتها تتوافق مع التصورات السابقة مثل: وسوف يتبين في هذه الدراسة أن هذا التعميم ينطبق , على الدوال الاولية المركبة كحالة خاصة. Abstract In the eighteen century the Swiss mathematician Leonard Euler introduced the solution of the equation , by that he extended the field of real numbers to the new one which make the above equation possible to solve, that field is called later the field of complex numbers. Euler wrote a complex number in the form. But Euler's notation raises logical questions about the + in the notation. A quite satisfactory definition of complex numbers is due the Irish mathematician William Rowan Hamilton. According to Hamilton the algebra of complex numbers, C is defined aswith the usual operations. That algebra has many important results includes the definition of the exponential and trigonometric functions to be generalization to its analog in the real analysis. In this thes is we try to extend the definitions of the exponential and trigonometric functions in two variables to include algebras distinct from the complex numbers and we study how this definition depends on the definition of multiplication (bilinear functions) on, and we well show that the functions have the same familiar exponential and trigonometric properties as , , , And we will present the definition of differentiation such that we find derivatives compatible with previous visions such as , And we try to prove this generalization compatible with the complex elementary functions as a special case.
محمد ابو القاسم ابو عجيلة (2010)

في هذا العمل قمنا بدراسة نظريات الوجود والوحدانية على المعادلات التفاضلية الجزئية مع الشرط الحدي اللامحلي من النوع الناقصية وأنظمتها من الرتبة الثانية في المجال الثالث. حيث قدم هذا العمل في أربعة فصول في الفصل الأول والثاني قمنا بتجميع التعريفات والنظريات الهامة التي استخدمناها في الفصل الثالث والرابع اللذين احتويا على النتائج الرئيسية لهذا العمل. حيث أننا في الفصل الثالث قمنا بدراسة مسألة القيمة الحدية اللامحلية لمعادلة تفاضلية جزئية ناقصية.وفي الفصل الرابع حاولنا تعميم المسألة السابقة إلى منظومة من المعادلات الناقصية مع الشروط الحدية اللامحلية من النوع الثالث. Abstract In this work, we have studied the theories of existence and solitariness on the subtracted partial differential equations and their second degree systems in the field of with the third type nonlocal minimum condition. This work introduced in four chapters. In the first and second chapters, we have gathered vital definitions and theories which we have used in the third and forth chapters which contained the main results of this work.In the third chapter, we have analyzed the nonlocal minimum value question of a subtracted partial differential equation.In the forth chapter, we have tried to generalize the previous question to a system of subtracted equation with the third degree type non-local minimum conditions.
أمنة محمد قريش (2010)

المعادلات التفاضلية الكلاسيكية لهيرميت ولجاندر وتشيبي شيف مشهورة بحلولهم المتعددة الحدود تلك الحدوديات تساهم في حلول بعض المسائل في الرياضيات التطبيقية والفيزياء والهندسة .وحيث أن تلك المعادلات من الرتبة الثانية فإن لكل منها أيضاً حل ثاني مستقل خطيا ليس متعددة حدود هذه الحلول غالباً لا نستطيع وضعها في صورة دوال أولية بمفردها في هذا البحث سوف ندرس المعادلات الكلاسيكية لهيرميت ولجاندر وتشيبي شيف عندما يكون لهاالحد() على الطرف الأيمن والذي يعرف أحياناً بالحد المُجْبِر في المعادلة وسوف نثبت بأنه لكل معادلة وباختيار شرط ابتدائي محدد يكون ضروري وكافي نضمن الحل المتعدد الحدود . عندما يكون هذا الشرط الأبتدائي محدد فإن الشكل التام المضبوط للحل في صورة متعددات حدود يكون موجوداً. Abstract The classical differential equations of Hermite, Legendre, and Chebyshev are well known for their polynomial solutions. These polynomials occur in the solutions to numerous problems in applied mathematics, physics and engineering. However, since these equations are of second order, they also have second linearly independent solutions that are not polynomials. These solutions usually cannot be expressed in terms of elementary functions alone. In this thesis, the classical differential equations of Hermite, Legendre, and Chebyshev are studied when they have a forcing term on the right-hand side. It was shown that for each equation, choosing a certain initial condition is a necessary and sufficient condition for ensuring a polynomial solution. Once this initial condition is determined, the exact form of the polynomial solution is presented.
نجاة علي أحمد الجلالي (2014)